Odvíjení definice (Začínáme)

Original: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.unwinding.html

Jeden z nejvíce často tázán, otázky studentů, které jsou nové doklady je „Jak mám začít?“ Odpověď je obvykle jednoduchá: definice Unwind. Za prvé Podívejte se na co jste se zeptal dokázat. Zahrnuje i termín, který byla definována (v přednášce nebo v textu nebo v problému)? Vypsat definice. A co předpoklady? Oni zahrnují definice? Pokud ano, vypsat ty. Někdy jsou věty, které jsou relevantní pro váš problém. Pokud ano, vypsat ty. Nebojte napsat všechno, co víte o co se snažíš dokázat.
Příklad: Největší společný dělitel
Největší společný dělitel dvou kladných celých čísel a b je číslo, d = gcd (a, b), který splňuje dvě vlastnosti: (1) d rovnoměrně rozděluje a b a (2) Jestliže d‘ je jiné kladné číslo, které rovnoměrně rozděluje a b, pak d > d‘. Napadá nás GŘC jako binární operace.

Věta. Gcd binární operace je asociativní, to znamená, pro všechny tři celá čísla positve a, b a c,

GCD (gcd a, b, c) = NSD (, gcd (b, c)).

Strategie. Co musíme dokázat? Dvě gcd jsou stejné. Kde začít? Nechť d být jedním z těchto gcd. Nechme d = gcd (gcd a, b, c). Co to znamená? To znamená, že (1) d rovnoměrně rozděluje gcd (a, b) a c a (2) Jestliže d‘ je jiné kladné číslo, které rovnoměrně rozděluje gcd (a, b) a c, pak d > d‘. Musíme dokázat, d = gcd (, gcd (b, c)). Co to znamená? Musíme dokázat dvě věci: (1) d rovnoměrně rozděluje a gcd (b, c) a (2) Jestliže d‘ je nějaké kladné číslo, které rovnoměrně rozděluje a gcd (b, c), pak d > d‘.

(1) vzhledem k tomu, že d rozděluje gcd (a, b), musí rozdělit d a b. Víme, že d rozděluje c, takže d musí rozdělit gcd (b, c). První část je tak snadné.

(2) nyní předpokládáme, že d‘ rozděluje a gcd (b, c). Pak, d‘ rozděluje b a c, tak d‘ musí rozdělit i gcd (a, b). Ale pak podle našich předpokladů, d > d‘. A to je vše, co jsme potřebovali dokázat.

Důkaz. Ať d = gcd (gcd a, b, c). Pak d propasti a, b a c a tedy dělí a gcd (b, c). Pokud d‘ rozděluje a gcd (b, c), pak d‘ musí rozdělit gcd (a, b) a c a tedy d > d‘. Tedy d = gcd (, gcd (b, c)).
Příklad: čísla
Reálné číslo se nazývá algebraické číslo, pokud existuje nenulové polynomu p, jejíž koeficienty jsou všech racionálních čísel takové že p(a) = 0. Příkladem by mohl být e, druhá odmocnina z 2. Pokud necháme p = x 2-2, pak p(sqrt(2)) = 0, proto e je algebraické číslo. Docela jasně jakýkoli kořen racionální číslo je algebraické číslo.

Věta. Pokud algebraické číslo a r je racionální číslo, pak + r je algebraické číslo.

Strategie. Co musíme dokázat? + r je algebraické číslo. Co to znamená? Musíme dokázat, že existuje polynom p s racionální číslo koeficienty tak že p(a+r) = 0. Co je to náš předpoklad? Předpokládáme, že (1) je algebraické číslo, tedy existuje polynom q(x) s racionální číslo koeficienty tak že q(a) = 0 a (2) r = s/t, kde s a t jsou celá čísla. Kde začít? Start s máme, polynom q(x), pro které q(a) = 0. Můžeme modifikovat q(x) do polynomu, p, který dělá to, co chceme: p(a+r) = 0? Ano! Ať p = q(x-r). Pak p(a+r) = q(a) = 0.

Důkaz. Nechť q(x) nenulovou polynomu s racionálními koeficienty pro které q(a) = 0. Pak p = q(x-r) je také polynomu s racionálními koeficienty (vzhledem k tomu, že r je racionální číslo) a p(a+r) = 0. Proto + r je algebraické číslo.

Cvičení
Každý z následujících Dokažte.

Nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel a b, lcm (a, b), je kladné celé číslo m, splňující dvě podmínky: (1) a b m a (2) Pokud rovnoměrně rozdělit m‘ je další kladné celé číslo, pro které a b rozdělit m‘, pak m < m‘. Nejmenší společný násobek je asociativní, tedy pro všechny tři celá kladná čísla, lcm (lcm a, b, c) = lcm (, lcm (b, c)).

Pokud algebraické číslo a r je racionální číslo, pak produkt ra je algebraické číslo.

Comments are closed.