Binormal povrchu


Original: http://www.unf.edu/~ddreibel/research/binormal.html

 

 

Nechť M jepovrch ponořen do R4 , ať p jebod na M a nechť n je jednotkový normálový vektor z M na s. . Spojené s n jedruhá základní forma lln , které jsou definovány

Lln = n . D2S | p
kde s jelokální oprava M o p . Jako kvadratická forma definovaná na tečnou prostoru ,druhá základní forma je nezávislá na parametrizaci . Vektor n se nazývábinormal vektor , pokuddruhá základní forma lln je parabolická .

Binormal vektory hrají velkou roli v lokální geometrie ploch ponořených v R4 . Například, klasifikace hyperbolických , parabolických nebo eliptické body ( [ MocFR ]) odpovídají , zdabod má 2 , 1 , nebo 0 binormal vektorů ( ve skutečnosti 4 , 2 , nebo 0 , pokud n je odbinormal vektor , pak tak, aby se – n ) .

Ještě důležitější je , pokud vezmeme v úvahu mapy Gauss jako mapy z jednotky normálního svazku UNM na 3 – koule S3 , pak je tato mapa má singularity přesně na binormal vektorů ( [ R ] , [ S ] ) . Takže můžeme uvažovat množinu všech binormals jako singularity soubor mapy Gauss . ( Binormal vektory prostoru křivek jsou také singularity prostoru křivky Gauss mapě , což je důvod, proč dáváme těchto vektorů stejný název . )

Sada binormal vektorů tvoří diferenciální plochu S3 , které budeme volat binormal povrch M. Tento povrch neníponoření a singularity v binormal povrchu může být spojena s geometrií M ( [ D ] ) .

Vzhledem k tomu,binormal plocha leží v S3 , můžeme zobrazit pomocí stereografickou projekcí . Binormal plocha v horní části stránky je z rozrušení komplexu kubické plochy ( z , z3 ) , a to :

f ( x , y ) = ( x , y , 3 ( ​​x2 + y2 ) + x3 – 3xy2 , 3x2y – y3 )
Tento povrch má hyperbolc body, když 0 < x2 + y2 < 1 a parabolické body , když x2 + y2 = 1 . Nad každým hyperbolického bodu , tam jsou čtyři listy na binormal povrchu ( dvě na ” vnější straně ” , dvě na ” vnitřní část ” ) , a listy se setkávají , když se blížíme parabolickou křivku . Původ jespeciální místo (imaginární skloňování ) , a na těchto místech dva listy se vzájemně dotýkají v singularity ( podobně jako evolutes na povrchu v R3 , viz [ P ] ) . Všimněte si, že tam jsou tři hrotové hrany na každém listu . Tyto odpovídají tři kořeny určitého kubické rovnice ( [ D ] ) . Binormal povrchu

 

Projekce se rozrušený Z3. Šipka poskytuje MPEG této plochy otáčí ve 4-prostoru.

 

Comments are closed.